Matematica I

Prerequisiti

Sono richiesti i seguenti prerequisiti:

  • conoscenze relative alla trigonometria, con particolare riferimento alle funzioni trigonometriche fondamentali;
  • conoscenze relative all’algebra, con particolare riferimento a: equazioni e disequazioni algebriche, logaritmiche, esponenziali, trigonometriche.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Materiale del corso

Il testo di riferimento principale è: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
Un utile complemento è dato dal rispettivo libro di esercitazioni: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Esercitazioni di Matematica. Vol 1 parte prima e parte seconda, Liguori Editore.

Orario delle lezioni

Martedì: 8:30-11:30
Mercoledì: 8:30-10:30
Giovedì: 10:30-13:30

Esami e prove in itinere

Ci saranno tre prove di esonero durante il corso. Chi avrà una media dei voti delle tre prove pari o superiore a 18 potrà sostenere direttamente l’esame orale. Sarà comunque possibile per tutti sostenere l’esame scritto. Un voto pari o superiore a 15 all'esame scritto consentirà di sostenere l'esame orale.
Chi non passa l’esame orale o rifiuta il voto deve rifare lo scritto.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare di conoscere le definizioni dei concetti trattati durante il corso. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali e i teoremi visti durante il corso. Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà delle dimostrazioni dei teoremi.

Lista degli argomenti trattati a lezione

  1. 1/3/2022 - Introduzione al corso. Connettivi logici, quantificatori. Insiemi e operazioni tra essi.
  2. 2/3/2022 - Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali e reali. Min, max.
  3. 3/3/2022 - Inf, sup e Assioma di completezza dei numeri reali. Assiomatizzazione dei numeri reali.
  4. 8/3/2022 - Relazioni e Funzioni. Funzioni iniettive e suriettive, funzioni invertibili, funzioni composte e funzioni monotone,
  5. 9/3/2022 - Max, min, inf e sup di una funzione. Funzioni elementari e loro prime proprietà: funzione lineare, valore assoluto, funzioni potenze.
  6. 10/3/2022 - Funzioni potenze ad esponenti razionali e reali, funzioni polinomiali, razionali, esponenziali e logaritmiche. Funzioni periodiche. Funzioni trigonometriche (seno, coseno).
  7. 15/3/2022 - Funzioni trigonometriche (tangente e cotangente) e loro inverse (arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente). Funzioni iperboliche (seno iperbolico, coseno iperbolico, tangente iperbolica) e loro inverse (settore seno iperbolico, settore coseno iperbolico, settore tangente iperbolica).Somma e prodotto di funzioni. Operazioni sul grafico di una funzione. Funzioni definite a tratti.Introduzione al concetto di successione. Limiti di successioni.
  8. 16/3/2022 - Unicità del limite di una successione. Successioni limitate. Operazioni con i limiti finiti.
  9. 17/3/2022 - Operazioni con i limiti infiniti. Teorema della permanenza del segno e corollari. Teorema dei carabinieri.
  10. 22/3/2022 - Teorema del limite di una successione limitata per una infinitesima. Teorema sulle successioni monotone. Il numero di Nepero. Limiti notevoli.
  11. 23/3/2022 - Intorno di un punto e punti di accumulazione. Definizione di limite per funzioni reali. Definizione di limite destro e sinistro.
  12. 24/3/2022 - Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni: il teorema ponte e sue conseguenze. Esempi e proprietà dei limiti di funzioni: operazioni con i limiti di funzioni, limiti di funzioni composte. Limiti fondamentali. Funzioni continue. Discontinuità e classificazione dei punti di discontinuità.
  13. 29/3/2022 - Asintoti: verticale, orizzontale, obliquo. Teorema di esistenza degli zeri. Primo e secondo teorema dell’esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Funzioni uniformemente continue.
  14. 5/4/2022 - Esercizi in preparazione alla prima prova in itinere.
  15. 6/4/2022 - Prima prova in itinere
  16. 7/4/2022 - Continuità delle funzioni monotone e delle funzioni inverse. Esercizi sulle funzioni continue.
  17. 12/4/2022 - Definizione di derivata. Significato geometrico della derivata e retta tangente. Relazione derivabilità-continuità. Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle potenze e dei polinomi.
  18. 13/4/2022 - Derivate delle funzioni elementari.
  19. 21/4/2022 - Retta tangente al grafico di una funzione. Punti di non derivabilità e loro classificazione. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Funzioni crescenti e decrescenti: criterio di monotonia.
  20. 26/4/2022 - Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo, criterio di stretta monotonia. Studio dei punti di massimo e minimo. Funzioni convesse e concave: criterio di convessità. Criterio per lo studio dei punti di massimo e di minimo con l’uso delle derivate successive. Studio del grafico di una funzione.
  21. 27/4/2022 - Studio del grafico di una funzione. Teorema di de l’Hôpital.
  22. 28/4/2022 - Confronto locale di funzioni: simboli di Landau e loro proprietà. Formula di Taylor con resto nella forma di Peano. Sviluppi di Taylor e Mc Laurin e applicazioni. Integrale definito.
  23. 3/5/2022 - Integrazione secondo Reimann. Significato geometrico dell’integrale definito. Proprietà dell’integrale definito (additività, linearità, monotonia). Teorema della media. Teorema sulle classi di funzioni integrabili. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
  24. 4/5/2022 - Primitiva di una funzione e integrale indefinito. Linearità dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Metodo di integrazione per parti.
  25. 5/5/2022 - Esercizi in preparazione alla seconda prova in itinere.
  26. 10/5/2022 - Metodo di integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali: scomposizione in fratti semplici.
  27. 11/5/2022 - Seconda prova in itinere.
  28. 12/5/2022 - Integrazione delle funzioni razionali: scomposizione in fratti semplici. Calcolo di aree di domini piani.
  29. 17/5/2022 - Serie. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi e criterio del confronto. Teorema sulla serie a termini non negativi. Serie geometrica. Serie armonica e serie armonica generalizzata. Criterio del confronto, criterio del confronto dei limiti.
  30. 18/5/2022 - Criterio degli infinitesimi, criterio del rapporto, criterio della radice. Serie assolutamente convergenti. Teorema sulle serie assolutamente convergenti. Esercizi sulle serie.
  31. 19/5/2022 - Il campo dei numeri complessi. Forma algebrica dei numeri complessi. Operazioni elementari sui numeri complessi. Coniugato e modulo di un numero complesso. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici n-me di un numero complesso.
  32. 24/5/2022 - Forma esponenziale dei numeri complessi. Risoluzione di equazioni polinomiali con i numeri complessi.
  33. 25/5/2022 - Esercizi in preparazione alla terza prova in itinere.
  34. 31/5/2022 - Terza prova in itinere.